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Jan 04, 2024

Recuit quantique pour l'équilibrage de la microstructure avec de longues

Rapports scientifiques volume 13,

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 6036 (2023) Citer cet article

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Nous démontrons l'utilisation et les avantages des approches de recuit quantique pour la détermination de microstructures équilibrées dans des alliages à mémoire de forme et d'autres matériaux avec une interaction élastique à longue portée entre les grains cohérents et leurs différentes variantes et phases de martensite. Après une illustration unidimensionnelle de l'approche générale, qui nécessite de formuler l'énergie du système en termes d'hamiltonien d'Ising, nous utilisons des interactions élastiques dépendantes distantes entre grains pour prédire la sélection de variants pour différentes déformations propres de transformation. Les résultats et les performances des calculs sont comparés aux algorithmes classiques, démontrant que la nouvelle approche peut conduire à une accélération significative des simulations. Au-delà d'une discrétisation à l'aide d'éléments cubiques simples, une représentation directe de microstructures arbitraires est également possible, permettant des simulations rapides avec actuellement jusqu'à plusieurs milliers de grains.

La modélisation des microstructures est une approche importante pour la compréhension, l'amélioration et le développement de nouveaux matériaux pour diverses applications. Cependant, comme les mécanismes à différentes longueurs et échelles de temps sont intimement liés, de telles descriptions et implémentations de modèles sont généralement difficiles et nécessitent des ressources de calcul massives. Bien que les approches de simulation de champ de phase - la méthode la plus répandue pour prédire l'évolution de la microstructure - bénéficient fortement de développements tels que la limite d'interface mince1,2, les modèles de champ de phase non diagonaux3,4 et les approches de champ de phase pointu5, les simulations contenant de grands domaines microstructuraux pour obtenir des prédictions avec une certaine signification statistique sont rares, fortement limitées par les ressources (super-)informatiques disponibles et leurs coûts et consommation d'énergie associés. Malgré les énormes progrès dans ce domaine de recherche et l'utilisation étendue d'ordinateurs parallèles et de cartes graphiques pour les simulations, les limitations des techniques de calcul restent un fil conducteur sérieux pour le progrès scientifique fondamental et la recherche appliquée.

L'une des questions frappantes qui se pose à l'horizon de la modélisation de la science des matériaux est de savoir comment l'informatique quantique changera potentiellement le paysage de la simulation à l'avenir. Cependant, à l'heure actuelle, un ordinateur quantique à usage général de taille suffisante n'est pas encore disponible. Entre-temps, une technologie connue sous le nom de recuit quantique (QA)6,7,8,9,10 a émergé et est disponible sur plusieurs sites dans le monde. L'utilisation de telles machines diffère considérablement des ordinateurs traditionnels à grille et, par conséquent, seuls des problèmes spécifiques peuvent actuellement être traités par des recuits quantiques11. Le concept d'un recuit quantique est que ses qubits sont initialisés dans un état bien défini qui est décrit par un hamiltonien avec un état fondamental unique12. Pendant le fonctionnement à des températures cryogéniques, cet hamiltonien est modifié de manière adiabatique de sorte que l'état fondamental se transforme en celui de l'hamiltonien final souhaité12,13, et permet donc d'effectuer efficacement des calculs de minimisation d'énergie globale. La structure de ces hamiltoniens est un modèle quadratique binaire, qui peut être exprimé en termes d'optimisation binaire quadratique sans contrainte ou, de manière équivalente, via un modèle d'Ising11. En raison de cette structure spécifique, jusqu'à présent, les applications liées à la science des matériaux de cette technologie sont encore rares. Au lieu de cela, la recherche actuelle se concentre principalement sur l'analyse comparative et les tests de performance du recuit quantique par rapport aux approches classiques14,15,16.

Quelques premières applications dans le domaine de la biologie et de la recherche de trafic dans le sens de problèmes d'optimisation ont été développées récemment. Ici, le recuit quantique permet l'analyse efficace des facteurs de transcription dans l'expression des gènes avec des algorithmes d'apprentissage automatique combinés17, l'identification des conformations des modèles de protéines de réseau18 et leur repliement19, la détection de la couverture arborée dans les images aériennes20, les problèmes d'optimisation des flux de trafic dans le monde réel21 ou le contrôle des véhicules guidés automatisés22. Cependant, l'utilisation du recuit quantique en science des matériaux n'est pas répandue et peu de publications correspondent aux transitions de phase dans le modèle d'Ising à champ transverse23, ​​à l'étude des phénomènes critiques dans les aimants frustrés via le modèle Shastry-Sutherland Ising24, à l'échantillonnage de Monte-Carlo25 et à la conception automatisée de matériaux de métamatériaux26. Le but du présent article est donc de démontrer que cette nouvelle technologie peut en effet conduire à des possibilités complètement nouvelles au-delà des descriptions existantes et couramment utilisées pour la modélisation des microstructures.

Afin d'être le plus explicite et illustratif possible, nous démontrons ici le cas de transformations cohérentes à l'état solide impliquant des phases austénitiques et martensitiques, où ces dernières sont autorisées à apparaître dans différentes variantes. De telles transitions jouent un rôle pour les alliages à mémoire de forme comme le NiTi, qui peuvent être facilement déformés à basse température, mais le chauffage à des températures plus élevées permet au matériau de retrouver sa forme formée précédente27. La modélisation et la cartographie des alliages à mémoire de forme pour les systèmes de verre de spin ont déjà été établies dans plusieurs études28,29,30,31 et peuvent ici être exploitées pour des applications d'assurance qualité. Dans ce qui suit, nous nous en tiendrons principalement à la terminologie des alliages à mémoire de forme, mais soulignerons que des approches similaires peuvent être utilisées pour modéliser, par exemple, le comportement de transformation et de déformation dans les aciers, les matériaux ferroélastiques, ainsi que les changements de phase dans les électrolytes solides pour les batteries rechargeables. L'aspect particulier qui joue un rôle central ici sont les interactions élastiques anisotropes à longue portée, qui sont courantes pour les transformations de l'état solide32, et donc la configuration de l'état fondamental ne dépend pas seulement des concentrations et des fractions de phase, mais aussi de l'arrangement microstructural détaillé des phases et des grains. Dans une simulation de champ de phase typique33, l'évolution microstructurale est résolue ainsi que la relaxation des déformations mécaniques dans l'esprit d'une description en continu, ce qui conduit à des temps de simulation très longs. Ici, nous montrons que la séparation des degrés de liberté discrets pour la distribution variable des phases martensitiques du développement continu de la microstructure et du traitement QA permet d'augmenter considérablement les performances des calculs et donc de simuler des systèmes pertinents d'application significativement plus grands par rapport aux approches existantes.

Pour un modèle 1D simplifié on considère uniquement une phase « martensitique » qui est supposée exister sous deux variantes différentes. Ainsi, la microstructure consiste en une ligne de grains de ces variantes, comme illustré dans l'encadré de la figure 1a. Pour être explicite, nous supposons que les deux variantes ont une déformation sans contrainte (déformation propre), qui conduit à une déformation de cisaillement par rapport à la phase mère austénitique, et notons ces variantes par des variables d'état \(s_i=\pm 1\). Comme au final on fera correspondre la description à un modèle d'Ising unidimensionnel, on utilise ici aussi la terminologie de "spins" avec deux alignements possibles dans l'esprit d'un modèle magnétique. Comme chacune des variantes conduit à un cisaillement de la cellule, on obtient une déformation globale sans contrainte de cette ligne (par rapport à l'austénite sans contrainte de cisaillement), en fonction de la configuration de spin. Nous supposons que tous les grains ont la même hauteur \(d\), les mêmes constantes élastiques et une contrainte propre de cisaillement opposée \(\pm \varepsilon _0\). Comme on peut facilement le voir sur l'encadré de la Fig. 1a, la position d'équilibre sans contrainte du grain supérieur \(x_0\) ne dépend que du nombre de variantes \(N_+\) avec l'orientation \(s_i=+1\) et \(N_-\) avec \(s_i=-1\), mais pas de l'arrangement individuel, qui est une particularité du modèle 1D simplifié et de la déformation propre choisie. Par conséquent, pour un nombre fixe \(N=N_++N_-\) de tours consécutifs, la déformation sans contrainte macroscopique est \(\bar{\varepsilon } = (N_+ - N_-)\varepsilon _0/N\), ce qui conduit à \(x_0 = N d \bar{\varepsilon }\). Si une déformation externe est imposée, c'est-à-dire \(x\ne x_0\) l'énergie élastique est \(F_{el}=\mu _\text{eff} (x-x_0)^2\) avec un module de cisaillement effectif \(\mu _\text{eff}\). Évidemment, l'énergie élastique est minimisée si la configuration des spins est telle que \(x=x_0\), ce qui implique \((N_+-N_-)_\text{min} = x/\varepsilon _0 d\), jusqu'au point de saturation, où tous les spins sont alignés. Cette expression sert de référence pour la comparaison avec les approches de minimisation numérique ci-dessous. Notons que nous avons négligé à ce stade le caractère discret des variants, ce qui signifie que la valeur entière \(N_+-N_-\) doit être la plus proche possible de la valeur continue \((N_+-N_-)_\text{min}\) ci-dessus. Bien que l'énergie dans le modèle 1D simple ne dépende pas de la disposition des variantes mais uniquement des nombres totaux \(N_+\) et \(N_-=N-N_+\), nous formulons ici le modèle au niveau des "spins" individuels \(s_i\) pour l'extension ultérieure vers des dimensions supérieures et l'utilisation du recuit quantique. On obtient donc \(N_+ - N_- = \sum _i s_i\). L'insertion de ceci dans l'expression d'énergie élastique donne \(F_\text{el} = \mu _\text{eff} \varepsilon _0^2d ^2 \sum _{i,j} s_i s_j - 2\mu _\text{eff} x \varepsilon _0 d \sum _i s_i +\mu _\text{eff} x^2\), où les sommations s'exécutent sur tous les spins. Pour l'implémentation sur un recuit quantique, nous devons amener cela à la forme Ising d'un hamiltonien H avec

où le premier terme correspond à l'interaction avec un champ magnétique externe \(h_i\) et le second terme à une interaction spin-spin, qui favorise l'ordre ferromagnétique (antiferromagnétique) dans le cas où la constante de couplage \(J_{ij}\) est négative (positive). Le dernier terme \(H_0\) indépendant du spin n'est qu'une constante additive non pertinente. De la comparaison des deux expressions ci-dessus, nous identifions \(h_i = - 2\mu _\text{eff} x \varepsilon _0 d\) et \(J_{ij} = 2 \mu _\text{eff} \varepsilon _0^2 d ^2\). Notons tout d'abord que la déformation externe est ici analogue au champ magnétique dans la description d'Ising. Deuxièmement, le terme d'interaction spin-spin \(J_{ij}\) est positif, favorisant ainsi "l'ordre antiferromagnétique". De plus, ce terme est indépendant des nombres de spin i, j, ce qui signifie que cette interaction ne dépend pas de la distance entre les grains. En d'autres termes, l'interaction élastique ne dépend que de la "magnétisation" moyenne \(N_+-N_-\), ce qui implique une interaction de champ moyen.

Le but de la formulation est de minimiser l'énergie élastique et de trouver le spin optimal ou la configuration variante \(\{s_i\}\). À cette fin, nous utilisons trois approches numériques différentes (voir la section méthodes), et les résultats sont comparés à la solution analytique ci-dessus : premièrement, une approche par force brute itère sur toutes les configurations de spin pour trouver exactement le minimum énergétique, deuxièmement, nous utilisons le recuit simulé comme chercheur d'état fondamental probabiliste, et enfin l'approche de recuit quantique. La figure 1a montre la "magnétisation" résultante \((N_+-N_-)/N\), c'est-à-dire l'orientation variable moyenne, en fonction du déplacement appliqué \(x/d N\varepsilon _0\), qui correspond au champ magnétique dans le modèle d'Ising.

Résultats du modèle unidimensionnel comparant différentes méthodes numériques et analytiques. (a) Orientation variable moyenne \((N_+-N_-) / N\) en fonction du déplacement \(x / d N \varepsilon _0\). Comparaison entre les résultats obtenus par minimisation numérique (traits pleins) versus la théorie analytique pour un système infini et continu (trait pointillé). Pour les grandes cylindrées, tous les "spins" sont alignés et donc la "magnétisation" sature. L'encart montre un croquis de l'arrangement unidimensionnel des variantes de martensite \(s_i=+1\) (rouge) et \(s_i=-1\) (vert). La rangée inférieure est fixée à la position \(x=0\), tandis que le grain supérieur a une position moyenne \(x_0\) à l'état sans contrainte. Si une contrainte ou une déformation externe supplémentaire est appliquée, la couche supérieure est déplacée vers la position x et la microstructure entière est cisaillée à la configuration en pointillés. (b) Temps de calcul écoulé en fonction du nombre de grains. Différentes méthodes et algorithmes sont comparés. Les parties en pointillés de la courbe QA appartiennent au régime des ruptures de chaîne. Pour les grandes tailles de systèmes, seule l'approche de recuit quantique hybride reste réalisable, montrant un besoin en temps de calcul quasi constant pour moins de 1000 variables de spin (encart).

Comme prévu, les résultats sont en accord avec la théorie analytique jusqu'à l'effet de discrétisation mentionné ci-dessus, qui devient moins prononcé pour les grands nombres de grains. Pour les déplacements élevés, la saturation s'installe lorsque toutes les variantes sont dé-maillées, ce qui signifie que tous les spins sont soit dans l'état \(+1\) ou \(-1\). Nous notons que pour le nombre de spins étudiés, tous les algorithmes utilisés conduisent au même minimum d'énergie, ce qui confirme que les approches probabilistes trouvent également les états minimums globaux.

La figure 1b montre le temps de calcul requis pour les différentes méthodes et algorithmes en fonction du nombre de grains N. Toutes les implémentations d'algorithmes conventionnels sont basées sur des calculs à un seul cœur sans parallélisation et sont principalement présentées pour une comparaison qualitative, car les recherches se concentrent sur l'approche de recuit quantique. Pour ce dernier, nous utilisons des implémentations d'unités de traitement quantique (QPU) jusqu'au nombre de spins le plus élevé possible (typiquement \(N\approx 170\) pour l'architecture Pegasus34 d'une machine D-Wave). L'approche de la force brute, où des itérations sur toutes les configurations de spin sont exécutées, a le temps de calcul le plus élevé. Même sur de petits systèmes de spin d'environ \(N\environ 40\), le temps utilisateur écoulé était trop long pour des applications pratiques en raison de la mise à l'échelle du temps de simulation \(\sim {{\mathcal {O}}}(2^N)\). La méthode de recuit quantique pur produit les résultats les plus rapides et se termine par un temps d'accès QPU écoulé presque constant. Dans l'ensemble, les calculs pour \(N\approx 150\) sont environ trois ordres de grandeur plus rapides que pour les autres approches classiques. Au-delà d'environ \(N\approx 50\) tours, ce que l'on appelle des ruptures de chaîne35 se produisent occasionnellement. Ils résultent de la nécessité de coder les spins fortement couplés en un seul spin logique. Idéalement, ces spins devraient représenter le même état que les spins individuels, mais en pratique cette identité peut être violée. Pour éviter ce problème et simuler des systèmes encore plus grands, qui sont essentiels pour une modélisation dimensionnelle plus élevée dans les sections suivantes, des approches hybrides de recuit classique et quantique peuvent être utilisées, qui combinent une AQ pure avec des approches de minimisation conventionnelles36. Les résultats numériques de la Fig. 1b montrent une augmentation du temps de calcul du solveur hybride par rapport au QA pur, mais l'accélération relative par rapport aux algorithmes classiques devient encore plus frappante. Pour le solveur hybride, le temps de calcul écoulé est essentiellement indépendant du nombre de variables de spin et n'augmente qu'au-delà de \(10^3\) grains jusqu'à plusieurs secondes. Dans l'ensemble, l'AQ hybride est clairement l'approche la plus rapide pour les grands nombres de grains et est donc utilisée dans les simulations bidimensionnelles suivantes.

Pour la détermination de l'énergie élastique linéaire au-delà d'une dimension, on considère des précipités cohérents de différentes variantes qui se forment à l'intérieur de la matrice. De cette manière, l'ensemble du matériau peut être considéré comme constitué de petites entités (désignées ci-après par grains), qui peuvent se trouver dans l'un des différents états martensitiques. La discrétisation (cartésienne) la plus simple possible consiste à utiliser de petits grains cubiques de longueur d'arête a. Tous les grains sont supposés cohérents (les déplacements et tractions élastiques sont continus aux interfaces entre les grains), et on utilise une élasticité homogène, c'est-à-dire qu'on ignore les différences de constantes élastiques entre les différentes phases ou variantes. Cela a pour conséquence que l'énergie élastique se réduit à des combinaisons d'interactions par paires entre tous les grains37.

À des fins de démonstration, nous effectuons ici des simulations bidimensionnelles dans une configuration de déformation plane, mais un transfert en trois dimensions est simple. En particulier, la partie recuit ne dépend pas de la dimensionnalité de la description. L'aspect qualitativement nouveau au-delà de 1D est l'apparition d'interactions "spin-spin" dépendantes de la distance et de l'orientation, qui ne décroissent que lentement avec la distance entre les grains, et conduisent donc à des matrices entièrement peuplées \(J_{ij}\). Comme il s'avère qu'une détermination précise de l'énergie d'interaction élastique est essentielle pour une prédiction précise de la microstructure à l'équilibre, nous utilisons des approches de transformation de Fourier avec des conditions aux limites périodiques comme indiqué dans la section méthodes. Comme conditions aux limites, nous utilisons soit la contrainte moyenne nulle dans le volume périodique V, \(\langle \sigma _{ij} \rangle = \frac{1}{V} \int \sigma _{ij}(\textbf{r})\,d\textbf{r} = 0\), soit, de manière similaire à la description 1D, une déformation moyenne donnée \(\langle \varepsilon _{ij} \rangle\). Nous utilisons dans ce qui suit pour simplifier l'élasticité isotrope, qui est par exemple décrite par le coefficient de Lamé \(\lambda\) et le module de cisaillement \(\mu\), c'est-à-dire que la relation contrainte-déformation se lit \(\sigma _{ij} = 2\mu (\varepsilon _{ij}-\varepsilon _{ij}^{(0)}) + \lambda \delta _{ij} (\varepsilon _{kk }-\varepsilon _{kk}^{(0)})\), où la sommation implicite sur des indices répétés est utilisée. La déformation propre dépendante de la position \(\varepsilon _{ij}^{(0)}(\textbf{r})\) est connue pour une microstructure donnée avec des déformations sans contrainte dépendantes de la phase fixe (par rapport à la phase mère austénitique), \(\varepsilon _{ij}^{(0)}(\textbf{r}) = \theta (\textbf{r}) \varepsilon _{ij}^0\), où la fonction indicatrice \(\theta\) est nul dans l'austénite et \(+1\) ou \(-1\) dans les deux variantes de martensite considérées. Pour une microstructure donnée, l'énergie élastique peut alors être calculée dans l'espace réciproque, comme indiqué dans la section méthodes. Pour la formulation en tant que modèle d'Ising, nous discrétisons notre microstructure en utilisant de petits grains cubiques non superposés comme indiqué ci-dessus et attribuons un "spin" \(s_i\) à chacun d'eux comme précédemment, de sorte que le champ indicateur devient une superposition \(\theta (\textbf{r}) = \sum _i s_i \theta _i(\textbf{r})\), où \(\theta _i\) est égal à un à l'intérieur du carré correspondant et vaut zéro à l'extérieur. Par conséquent, l'énergie élastique se décompose en interactions par paires (pour \(i\ne j\)) et en termes d'énergie propre (pour \(i=j\))

où le noyau intégral \(B(\textbf{r})\) est défini par l'inverse de la fonction de Green élastique. Par conséquent, il suffit d'effectuer les calculs d'énergie de la transformée de Fourier pour toutes les paires de la même variante de martensite \(s_i=s_j=1\) sur les sites discrets du réseau dans le volume V ; pour des conditions aux limites périodiques et des formes de grains identiques, il suffit de calculer l'énergie d'interaction élastique entre un grain de référence et tous les autres grains, due à l'invariance en translation. Dans le cas de conditions aux limites de déformation moyenne fixes, un terme homogène supplémentaire apparaît (voir la section méthodes), contribuant à la fois à l'interaction spin-spin \(J_{ij}\) ainsi qu'au terme de champ magnétique \(h_i\), qui est absent pour les conditions aux limites de contrainte moyenne nulle. La matrice résultante entièrement peuplée de constantes de couplage avec des entrées positives et négatives présente des similitudes avec les systèmes de verre de spin avec des couplages aléatoires, qui ont été étudiés dans la littérature avec des approches conventionnelles, voir par exemple38.

Pour le cas le plus simple où la déformation propre est purement dilatationnelle et isotrope, le théorème de Bitter-Crum s'applique et l'énergie totale ne dépend que de la fraction volumique de la variante de martensite, où aucune interaction entre les grains n'est présente et seul un terme d'énergie propre reste39.

Pour une interaction élastique non triviale et le lien avec la description 1D précédente, nous considérons une déformation de transformation de cisaillement avec \(\varepsilon _{xy}^0=\varepsilon _{yx}^0=\varepsilon _0\), où tous les autres composants disparaissent. Dans ce cas, nous obtenons une interaction dépendante de la distance et de l'orientation, comme illustré à la Fig. 2a, qui est calculée ici pour le cas d'une contrainte moyenne nulle, \(\langle \sigma _{ik}\rangle =0\). Ici et dans les parties suivantes, le coefficient de Poisson est choisi comme \(\nu =1/4\) (c'est-à-dire \(\lambda =\mu\)).

Énergies d'interaction de deux grains de type variant égal (\(\mathbf {s_i=s_j}\)). Énergies d'interaction dans le cas (a) de la déformation propre de cisaillement et de la contrainte moyenne nulle et (b) de la déformation propre tétragonale. L'énergie d'interaction par longueur est donnée en unités de \(\lambda a^3 \varepsilon _0^2\), et les calculs ont été effectués en utilisant une taille de système de \(L_x/a=L_y/a=50\), où a est la longueur d'arête des grains. A distance \(r/a=0\) les grains se touchent. Les symboles sur les courbes continues indiquent les informations pour l'interaction au niveau des sites discrets du réseau, qui sont effectivement utilisées dans les simulations de recuit.

L'énergie d'interaction est obtenue en soustrayant les énergies propres élastiques \(E_\text{self}\) pour chacun des deux grains de martensite (isolés) à l'intérieur de la matrice austénitique de l'énergie élastique totale \(E_\text{el}\) de l'arrangement à deux grains, c'est-à-dire \(E_\text{int}=E_\text{el}-2E_\text{self}\), pour normaliser l'énergie d'interaction de sorte qu'elle décroisse à zéro pour les séparations de gros grains. Pour les courtes distances, une transition entre attraction et répulsion est trouvée pour la direction \(\langle 100\rangle\), alors qu'une interaction purement répulsive en résulte pour les directions diagonales \(\langle 110\rangle\). En raison des conditions aux limites périodiques, le résultat dépend de la taille du système \(V=L_x\times L_y\), car les grains interagissent également avec leurs images périodiques, donc \(r\ll L_x, L_y\) est nécessaire pour observer la décroissance de l'interaction.

Nous notons qu'en deux dimensions, l'énergie d'interaction décroît asymptotiquement comme \(r^{-2}\), alors qu'en trois dimensions, elle évolue comme \(r^{-3}\) dans les grands systèmes, ce qui découle de la fonction de Green élastique40. Pour la mise en œuvre du recuit quantique, les énergies d'interaction ne sont nécessaires que pour les points de réseau discrets (symboles sur les courbes). Bien que la décroissance de l'interaction élastique puisse suggérer de la couper au-delà d'une certaine distance dans l'espace réel, il s'avère qu'une telle approche est inappropriée, car elle conduit au final à des microstructures d'équilibre invalides, et il est donc essentiel de conserver tous les termes d'interaction \(J_{ij}\) avec une grande précision pour éviter les effets parasites. Nous notons que la formulation sur le recuit quantique ne dépend pas de la dimensionnalité, donc le tracé de mise à l'échelle de la figure 1b s'applique ici également.

Sur la base du calcul des interactions élastiques, nous obtenons à partir de l'implémentation du modèle d'Ising sur le recuit quantique avec des motifs de bande de solveur hybride dans la direction \(\langle 100\rangle\) comme structures d'équilibre. Ces motifs sont irréguliers dans le sens où les largeurs des rayures ne sont pas uniformes. Ceci est en analogie avec le modèle 1D, qui a été discuté ci-dessus, où nous avons constaté que la disposition des deux variantes n'est pas déterminée. Cette coïncidence, qui est physiquement attendue, n'est pas triviale à partir de la formulation du modèle, car (i) dans le modèle 1D, nous avions une interaction indépendante de la distance dans le modèle discrétisé, où ici l'interaction est nettement plus complexe, mais s'ajoute aux mêmes descriptions effectives pour l'arrangement périodique ; (ii) une rotation du motif de 90 degrés est possible et parfois obtenue à partir de la configuration optimale en raison de la symétrie de rotation discrète ; (iii) la fixation de la contrainte moyenne par rapport à la déformation moyenne donnée dans la formulation 1D peut conduire à des distributions inégales des différentes variantes. En particulier, pour l'absence de déformation externe actuellement considérée (impliquant un champ magnétique nul dans la terminologie d'Ising), il n'y a pas de contrainte de la sorte \(\langle s_i\rangle = 0\) pour l'alignement de spin moyen. Toutes les configurations de bande sont énergétiquement équivalentes, ce qui inclut la possibilité d'une seule variante de configuration. Ces résultats confirment donc simultanément la précision du calcul de l'interaction élastique avec la décomposition par paires ainsi que la capacité du recuit quantique à identifier les véritables configurations de l'état fondamental.

Comme exemple suivant, nous utilisons une déformation propre tétragonale avec les seules composantes non nulles \(\varepsilon _{xx}^0=-\varepsilon _{yy}^0=\varepsilon _{zz}^0=\varepsilon _0\). Premièrement, nous considérons à nouveau la situation avec une contrainte moyenne nulle, \(\langle \sigma _{ij}\rangle = 0\). L'énergie d'interaction correspondante est représentée sur la figure 2b pour \(\nu =1/4\). Dans ce cas, la microstructure d'équilibre est triviale et consiste en une seule variante, car dans ce cas l'énergie élastique est nulle pour le système périodique. Par conséquent, la situation diffère de la transformation de cisaillement précédente, où également les arrangements lamellaires avec les deux variantes conduisent à des situations sans contrainte. La raison en est que toute interface entre deux variantes conduit à un décalage entre variantes adjacentes pour la transformation tétragonale, et donc une telle situation est énergétiquement défavorable ici. Un changement des conditions aux limites en déformation moyenne nulle, \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle =0\), modifie la situation, car alors des arrangements avec des quantités égales des deux variantes sont préférés, car cela abaisse la partie volumique de l'énergie élastique. Dans ce cas, nous trouvons des bandes inclinées régulières comme motif d'équilibre, comme le montre la figure 3a.

Motifs de rayures résultants pour la déformation propre tétragonale. (a) Structure d'équilibre avec trois paires de bandes (comptées le long de l'axe horizontal) dans un système composé de \ (50 \ fois 50 \) grains cubiques. Une déformation moyenne nulle, \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle =0\), est imposée. La largeur des rayures est uniforme, composée de grains de configuration \(s_i=+1\) (rouge) et \(s_i=-1\) (vert). (b) Énergie élastique des motifs de rayures avec différents angles d'inclinaison \(\phi .\) Les courbes pleines correspondent à des rayures lisses (la taille des grains \(a/L_x, a/L_y\ll 1\) est négligeable) et montrent un point stationnaire prononcé pour les inclinaisons pour lesquelles le motif se répète périodiquement sans plis aux limites. Les carrés correspondent à des situations avec le même nombre de bandes, où le système est discrétisé par \(50\fois 50\) grains quadratiques, conduisant à des effets de crénelage prononcés, et l'énergie élastique résultante est plus élevée que pour les bandes lisses. Cela déplace le minimum énergétique pour 6 paires de bandes à \(\phi \approx 40^\circ\) vers un angle inférieur \(\phi \approx 33^\circ\) avec 3 paires de bandes. La limite de taille infinie du système pour les rayures lisses est représentée par une courbe en pointillés noirs.

Encore une fois, la solution n'est pas unique; en particulier, du fait de l'invariance en translation, le recuit renvoie également des configurations où les bandes sont décalées. Aussi, un changement du signe de l'angle d'inclinaison \(\phi\) (voir définition sur la figure) conduit à des solutions énergétiquement équivalentes. Cependant, nous ne trouvons pas de configurations d'état fondamental qui conduisent à des angles d'inclinaison ou des largeurs de bande différents (absolus) ou même à des variations irrégulières de ces dernières, contrairement au cas de transformation de cisaillement précédent.

La raison des morphologies observées de l'état fondamental est une combinaison des effets d'élasticité continue, de la structure granulaire du matériau et des contraintes induites par les conditions aux limites périodiques. La figure 3b montre l'énergie élastique calculée pour différents nombres d'arrangements réguliers de bandes dans le système périodique en fonction de l'angle d'inclinaison \(\phi\). Ici, nous voyons une influence prononcée de la taille des grains, car l'énergie élastique des configurations avec des paires de bandes régulières avec une discrétisation par \(50\fois 50\) grains (carrés sur la figure) est plus élevée que pour les cas correspondants avec des grains très fins, où les effets de discrétisation ne jouent plus de rôle (courbes lisses). La nature oscillante est due aux conditions aux limites périodiques, car des choix inappropriés de l'angle d'inclinaison conduisent à des discontinuités des motifs de rayures aux limites, ce qui est énergétiquement défavorable. Par conséquent, les motifs continus correspondent aux points stationnaires des courbes. Pour des angles spécifiques, les courbes pour trois et six paires de bandes se rencontrent à des minima locaux, ce qui est une conséquence de l'invariance d'échelle de l'élasticité linéaire. D'après les courbes limites lisses du continuum, on conclurait qu'un angle d'environ \(\phi \approx 40^\circ\) devrait conduire à la configuration énergétiquement la plus basse (minimum absolu de la courbe rouge lisse). De plus, dans la limite des systèmes infinis, où les conditions aux limites périodiques ne jouent plus de rôle, un traitement analytique est possible, conduisant à l'expression d'énergie \(E_\text{el}^\infty = VB(n)/2\) pour une fraction volumique égale des deux variantes avec

avec \(n=\cos \phi\). La minimisation de l'énergie donne l'angle optimal \(\phi =\cos ^{-1}\sqrt{5/8}\approx 37.8^\circ\), voir Fig. 3b (minimum de la courbe pointillée noire).

Cependant, ces prédictions sont en désaccord avec la découverte du recuit quantique, qui favorise une configuration avec trois paires de bandes à un angle inférieur de \(\phi \approx 33^\circ\). Cette observation peut être comprise en tenant compte de la structure granulaire des modèles étudiés ici, car la microstructure dans les simulations de recuit se compose de grains carrés \ (50 \ fois 50 \). Premièrement, l'apparition explicite de l'échelle de longueur a rompt l'invariance d'échelle du motif périodique, et donc les minima des courbes d'énergie appartenant aux microstructures discrètes (carrés sur la Fig. 3b) ne coïncident plus aux minima locaux. De plus, avec l'augmentation de l'inclinaison, les effets d'anticrénelage des motifs deviennent plus pertinents et, par conséquent, les courbes d'énergie montrent un désaccord croissant avec les courbes de limite du continuum. En conséquence, le minimum énergétique dans la microstructure discrète se déplace en effet vers une configuration à trois paires de bandes à \(\phi \approx 33^\circ\) (minimum absolu des carrés bleus de la Fig. 3b), ce qui est en accord avec la prédiction du recuit quantique. Par conséquent, les détails de la structure granulaire peuvent modifier l'énergétique par rapport à une approximation du continuum complet, d'autant plus que de nombreux minima locaux de l'énergie élastique sont proches les uns des autres.

L'approche présentée ci-dessus ne se limite pas aux grains cubiques interagissant mutuellement, mais peut également être appliquée à des microstructures réalistes. Pour illustrer les procédures, nous avons généré une microstructure composée de \(N=400\) grains en utilisant une tesselation de Voronoi41. Chaque grain est autorisé à prendre une des deux variantes de martensite avec le tenseur de déformation propre tétragonal, et nous pré-calculons toutes les interactions élastiques mutuelles entre elles. Nous notons que contrairement au cas avec les grains cuboïdes dans un tableau périodique, nous ne pouvons pas exploiter ici l'invarince de translation due aux différentes formes des grains, et donc ces calculs d'énergie d'interaction élastique s'échelonnent ici comme \({{\mathcal {O}}}(N^2)\) au lieu de \({{\mathcal {O}}}(N)\) auparavant, bien que nous utilisions toujours des conditions aux limites périodiques. De plus, on considère maintenant des déformations externes données arbitraires \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle\), ce qui conduit à l'apparition d'un terme "magnétique" comme dans la description unidimensionnelle. Avec cela, nous pouvons prédire la distribution des variantes d'équilibre dans la microstructure à l'aide du recuit quantique hybride, et cette étape est généralement exécutée en quelques secondes d'exécution.

Des exemples de microstructures à l'équilibre sont présentés à la Fig. 4 en fonction de la déformation appliquée de l'extérieur \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle\), tandis que les autres composantes de déformation moyenne disparaissent.

Distribution variable d'équilibre résultante avec orientation uniforme des grains. Les microstructures sont constituées de 400 grains et la contrainte de traction est appliquée dans la direction horizontale (x). Les grains rouges (verts) correspondent à la variante \(s_i=+1\) (\(s_i=-1\)). La déformation de traction est (a) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0\), (b) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0.1\), (c) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0.5\), (d) \(\l angle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0,9\), (e) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 1,1\) et (f) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 1,3\).

Les microstructures observées sont en effet similaires à ce que nous avons trouvé avant d'utiliser la discrétisation carrée, bien qu'ici les largeurs de bande et l'orientation s'écartent du cas précédent en raison des détails microstructuraux et du plus petit nombre de grains, et ces effets peuvent être expliqués à l'aide d'une analyse similaire à celle effectuée pour la Fig. 3b. On constate que dans ces microstructures tous les grains ont la même orientation, et donc l'application d'une déformation en traction favorise fortement la sélection du variant de grain \(s_i=+1\) (pour une situation de compression on observe le comportement inverse), et on retrouve un alignement complet de tous les variants dans le dernier cliché.

De plus, nous avons effectué la même analyse pour les grains avec une orientation aléatoire uniformément distribuée, ce qui implique une rotation du tenseur de déformation de transformation locale, voir la figure 5 pour les orientations des grains et pour la sélection des variantes.

Distribution variable d'équilibre résultante avec orientation aléatoire des grains. (a) Carte d'orientation des grains correspondant aux microstructures. Dans la barre de couleur, l'angle de rotation du grain est donné en radian (modulo \(\pi\) dû à la symétrie). L'axe de rotation est dans la direction [001]. Les microstructures sont constituées de 400 grains et la contrainte de traction est appliquée dans la direction horizontale (x). Les grains ont une orientation aléatoire, qui est la même pour tous les cas, basée sur une distribution uniforme. La déformation de traction dans la direction horizontale est (b) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 0\) et (c) \(\langle \varepsilon _{xx}\rangle /\varepsilon _0 = 2,1\). Les grains rouges (verts) correspondent à la variante \(s_i=+1\) (\(s_i=-1\)).

Ici aussi, la répartition spatiale équilibrée des variantes semble être irrégulière. L'application d'une déformation de traction favorise à nouveau "l'alignement" de la variante, mais cette fois même pour des déformations élevées, tous les grains ne sélectionnent pas la même variante, ce qui est dû à la rotation locale. En fait, un grain qui est tourné de \(90^\circ\) par rapport à la direction de déformation a une préférence pour être dans un état variant \(s_i=-1\), car alors la direction d'expansion est alignée avec la déformation de traction externe. Cela peut être clairement vu, par exemple sur la Fig. 5(c) pour la déformation de traction la plus élevée dans la direction x, où les patchs restants avec "spin" \(s_i=-1\) correspondent aux grains avec une orientation proche de \(\pi /2\) (ou \(3\pi /2\)). Nous soulignons que pour une microstructure donnée (formes de tous les grains), les interactions élastiques mutuelles grain-grain ne doivent être calculées qu'une seule fois. Comme mentionné précédemment, cette étape doit être effectuée avec une grande précision, et par conséquent c'est l'étape qui demande le plus de temps de calcul. Après cela, tous les changements des conditions aux limites externes n'affectent que le mode \(k=0\) contribuant aux interactions \(J_{ij}\) et \(h_i\), et ces termes peuvent être calculés analytiquement (voir la section méthodes). Comme chaque calcul de recuit quantique hybride ne nécessite généralement que quelques secondes, l'ensemble du changement de microstructure pendant le chargement mécanique peut être calculé extrêmement rapidement.

Le résultat central du présent article est l'optimisation montrée des microstructures via le recuit quantique, présentant un net avantage de performance de la nouvelle approche par rapport aux stratégies conventionnelles de minimisation de l'énergie. L'approche par force brute n'est pas recommandée, alors que les algorithmes de recuit simulé optimisés produisent de bons résultats. Cependant, le recuit quantique représente la méthode de loin la plus rapide pour les problèmes d'optimisation, en particulier pour les systèmes avec un nombre élevé de grains (spins) et des constantes et biais de couplage non nuls, et permet la détermination de configurations d'état fondamental pour des tailles de système, qui ne sont pas accessibles pour les algorithmes classiques sur des échelles de temps de calcul raisonnables.

Pour un système composé de N grains, nous devons calculer \({{\mathcal {O}}}(N^2)\) les interactions spin-spin. Ces calculs d'énergie élastique doivent être effectués avec une grande précision et, par conséquent, ils dominent le temps de calcul global. Après cela, les configurations de spin \({{\mathcal {O}}}(2^N)\) doivent être comparées pour identifier la configuration d'équilibre. Pour l'algorithme conventionnel, cette étape combinatoire domine l'effort de calcul total déjà pour les faibles valeurs de N. En revanche, avec le recuit quantique ou sa variante hybride, le temps de calcul pour la minimisation de l'expression d'énergie d'Ising est complètement négligeable par rapport aux calculs d'énergie d'interaction élastique. Par conséquent, nous avons démontré que l'AQ est capable d'optimiser considérablement la recherche d'états d'équilibre microstructuraux dans les phases solides avec des interactions élastiques à longue portée. Déjà aujourd'hui, l'utilisation du recuit quantique hybride permet le calcul de microstructures à plusieurs milliers de grains qui interagissent tous les uns avec les autres, ce qui est essentiel pour une modélisation réaliste des microstructures à l'intérieur de divers matériaux.

Pour de nombreuses enquêtes pertinentes pour les applications, il est essentiel de comprendre si et comment des modèles peuvent être formulés pour qu'ils soient adaptés à l'informatique quantique. Nous l'avons démontré ici pour le cas particulier des interactions élastiques à longue portée. Les extensions vers la prise en compte de l'énergie interfaciale, des variantes multiples de la martensite, de l'élasticité anisotrope, des relations d'orientation entre les grains et les phases et des différentes dimensions spatiales sont évidentes, car elles n'influencent pas conceptuellement la stratégie présentée de formulation du problème en termes de modèle d'Ising. L'élasticité non homogène et la proximité des surfaces libres peuvent effectivement conduire à des interactions à plusieurs corps, pour lesquelles des extensions perturbatives ou l'introduction de variables de spin produit sont des directions prometteuses37,42. Au-delà des effets purement élastiques, d'autres applications potentielles comprennent les changements de phase dans les batteries à semi-conducteurs multiphases, les transformations de phase dans les aciers à haute résistance ou d'autres matériaux comme les ferroélectriques. Dans l'ensemble, la séparation des degrés de liberté continus et discrets et le traitement quantique de ces derniers peuvent également être bénéfiques pour les descriptions de champ de phase hybride et de recuit quantique qui combinent une sélection de variantes avec une évolution de la morphologie des grains de manière efficace pour réduire considérablement les exigences en temps de calcul des approches existantes pour les tailles d'échantillon pertinentes pour l'application.

Comme les ordinateurs quantiques à usage général, un recuit quantique est construit à partir de qubits, qui stockent et traitent ici les informations à l'aide de boucles supraconductrices. Un courant circulant dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre dans une telle boucle représente différents états de spin12. Dans chaque qubit, des boucles supraconductrices interagissent avec des biais de flux externes, ce qui permet de construire un paysage énergétique, où les flux influencent la hauteur de la barrière et la différence d'énergie12. Au début du calcul, le système est initialisé dans l'état fondamental d'un hamiltonien connu \(H_0\sim -\sum _i \sigma _i^x\) à matrices de Pauli \(\sigma _i\), c'est-à-dire un fort champ magnétique transverse13,43. Au cours du processus de recuit, l'hamiltonien est transformé en celui souhaité basé sur un modèle d'Ising11 \(H_p = \sum _ih_is_i+\sum _{i

Comme en pratique, cette approche ne fournit pas toujours l'état d'énergie le plus bas, en particulier si des états de basse énergie énergétiquement proches existent, un nombre approprié de répétitions est effectué et la configuration avec l'énergie détectée la plus basse est prise. Si les problèmes d'Ising ne correspondent pas à l'architecture du QPU, un sous-graphe de qubits couplés, appelés chaînes, couvre une variable du problème dans ce que l'on appelle l'incorporation mineure36,46. De plus, pour les grands systèmes, le recuit quantique hybride exploite les algorithmes classiques et l'interaction avec le recuit quantique dans les zones à forte demande de calcul en utilisant un coprocesseur QPU travaillant avec des paramètres génériques pour jusqu'à 11616 variables de spin sur le système D-Wave Advantage36,47. En pratique, le framework D-Wave Leap48 permet une formulation directe en termes de problème d'Ising Hamiltonien.

Pour N spins, nous calculons l'énergie de toutes les configurations possibles \(2^N\) pour déterminer le minimum. Cette approche déterministe fournit la véritable énergie de l'état fondamental mais nécessite un effort de calcul élevé.

Pour cette approche probabiliste49, une configuration initiale aléatoire est choisie. Une nouvelle configuration candidate, que nous générons ici par un seul spin flip, est acceptée si son énergie est inférieure à la valeur précédente. Si l'énergie est supérieure d'une quantité \(\Delta E\), la configuration est acceptée avec une probabilité donnée par le facteur de Boltzmann \(\exp (-\Delta E/T)\), afin de ne pas rester coincé dans les minima énergétiques locaux. Au cours de la simulation, la température T est réduite selon une stratégie de refroidissement spécifique, afin de converger vers un minimum énergétique en fin de simulation. Comme notre objectif principal n'est pas de maximiser les performances des algorithmes (classiques) mais plutôt de démontrer le comportement général de mise à l'échelle, nous nous abstenons d'une discussion détaillée de l'optimisation des paramètres de l'approche de recuit simulé probabiliste. Cela comprend notamment l'utilisation de critères d'arrêt appropriés lorsqu'aucune réduction supplémentaire de l'énergie ne se produit, ainsi que l'utilisation de stratégies de refroidissement adaptées au problème. Pour l'approche de recuit simulé, nous utilisons des essais de retournement de spin unique à chaque itération, et la température T est diminuée à chaque fois de \(\Delta T/\mu _\text{eff}\varepsilon _0^2d ^2 = 10^{-6}\), ce qui offre de bonnes performances pour les systèmes de grande taille. Les simulations sont arrêtées après un nombre fixe d'étapes \(10^{7}\), qui est optimisé pour le plus grand système de spin considéré avec \(N=150\) sur la Fig. 1b, conduisant à une mise à l'échelle du temps de calcul \(\sim N^2\) en raison du calcul de l'énergie d'interaction.

Nous résolvons le problème élastique d'une configuration multi-grains avec une élasticité linéaire homogène, c'est-à-dire que toutes les variantes et phases sont supposées avoir les mêmes constantes élastiques. De plus, des interfaces cohérentes sont supposées, ce qui signifie une continuité des déplacements aux interfaces. Les variantes de martensite ont différentes déformations sans contrainte (ou déformations propres) par rapport à la phase d'austénite mère, d'où la relation contrainte-déformation se lit pour l'élasticité linéaire générale \(\sigma _{ij} = \lambda _{ijkl}(\varepsilon _{kl}-\varepsilon _{kl}^{(0)})\), où \(\varepsilon _{kl}^{(0)}(\text bf{r})\) est le tenseur de déformation sans contrainte locale et \(\lambda _{ijkl}\) le tenseur élastique. Nous déterminons la configuration d'équilibre élastique, qui obéit à la condition \(\partial \sigma _{ij}/\partial x_j=0\) dans les domaines massifs et la continuité des contraintes normales aux interfaces, en utilisant des approches de transformation de Fourier32. A partir de là, l'énergie élastique peut être calculée dans l'espace réciproque comme32

pour un système périodique avec une contrainte moyenne nulle comme condition aux limites, où \(\hat{\theta }(\textbf{k})\) est la transformée de Fourier du champ indicateur \(\theta (\textbf{r})\) et \(B(\textbf{n})\) avec \(\textbf{n}=\textbf{k}/k\) égal à \(B(\textbf{n}) = \sigma _{ij}^ 0\varepsilon _{ij}^0 - n_i \sigma _{ij}^0 \Omega _{jk} \sigma _{kl}^0 n_l\) avec \(\sigma ^0_{ij}=\lambda _{ijkl}\varepsilon _{kl}^0\). Ici, \(\Omega _{ij}(\textbf{n})\) est le tenseur de Green normalisé pour les déplacements, qui est défini par son inverse comme \(\Omega _{ik}^{-1} = \lambda _{ijkl}n_j n_l\). La sommation dans l'Eq. (3) est sur des vecteurs discrets en raison des conditions aux limites périodiques dans l'espace réel. La sommation est en principe infinie, et peut être calculée efficacement en utilisant la technique de décoration50. Pour des conditions aux limites de déformation moyennes, c'est-à-dire une valeur prescrite de \(\langle \varepsilon _{ij}\rangle\), une contribution homogène supplémentaire (\(\textbf{k}=0\)) apparaît dans l'Eq. (3), qui se lit \(E_\text{hom} = V \lambda _{ijkl} (\langle \varepsilon _{ij}\rangle - \langle \varepsilon _{ij}^{(0)}\rangle ) (\langle \varepsilon _{kl}\rangle - \langle \varepsilon _{kl}^{(0)}\rangle )/2\), qui peut être calculé analytiquement ly.

Les données obtenues au cours de ce projet seront mises à disposition par l'auteur correspondant sur demande.

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Cette recherche a été financée par le ministère fédéral allemand de l'Éducation et de la Recherche (BMBF) via le projet Meet HiEnD 3 et le projet Helmholtz ZeDaBase. Le libre accès a été financé par la Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG, Fondation allemande pour la recherche) - 491111487. Les auteurs remercient le Jülich Supercomputing Center (https://www.fz-juelich.de/ias/jsc) pour le financement de ce projet en fournissant du temps de calcul sur le système D-Wave \(\hbox {Advantage}^{\text{TM}}\) JUPSI via l'infrastructure Jülich UNified for Quantum computing (JUNI Q).

Financement Open Access activé et organisé par Projekt DEAL.

Structure et fonction des matériaux, Institut de recherche sur l'énergie et le climat, Forschungszentrum Jülich GmbH, 52425, Jülich, Allemagne

Roland Sandt et Robert Spatschek

Université Paris-Saclay, ONERA, CNRS, Laboratoire d’Etude des Microstructures, 92320, Châtillon, France

Yann Le Bouar

JARA-ENERGY, 52425, Jülich, Allemagne

Robert Spatschek

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R.Sa., YLB et R.Sp. contribué aux calculs analytiques et numériques, à la méthodologie, à la visualisation et à l'analyse. Tous les auteurs ont contribué à la rédaction du manuscrit.

Correspondance à Roland Sandt.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

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Réimpressions et autorisations

Sandt, R., Le Bouar, Y. & Spatschek, R. Recuit quantique pour l'équilibrage de la microstructure avec des interactions élastiques à longue portée. Sci Rep 13, 6036 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33232-w

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Reçu : 24 janvier 2023

Accepté : 10 avril 2023

Publié: 13 avril 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-33232-w

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Rapports scientifiques (2023)

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